什么是特征(什么是特征方程的二重根)

什么是特征方程的二重根

特征根是解二阶常系数微分方程时，对应的特征一元二次代数方程的根，非特征根就是纯一元二次方程的根，这个根不与相应的微分方程相对应。

特征值二重根其特征向量

特征多项式 = (λ-1)^2 (λ+1)。 二重特征值是指特征值是特征多项式的2重根。 如A的特征多项式为|λE-A |=（λ-2）(λ^2-8λ+18+3a）。

当λ=2是特征方程的二重根，则有2^2-8*2+18+3a=0，解得a=-2。

若λ=2不是特征方程的二重根,则(λ^2-8λ+18+3a）为完全平方，从18+3a=16而，解得 a。

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值或本征值。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

什么是特征方程的二重根和三重根

根的判别式是判断方程实根个数的公式，在解题时应用十分广泛，涉及到解系数的取值范围、判断方程根的个数及分布情况等。一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是b^2-4ac，用“Δ”表示(读做“delta”)。

判别式即判定方程实根个数及分布情况的公式。

一元二次方程判别式

任意一个一元二次方程均可配成，因为a≠0，由平方根的意义可知，的符号可决定一元二次方程根的情况．

叫做一元二次方程的根的判别式，用“△”表示(读做“delta”)，即△=．

一元二次方程根的情况

方程系数为实数

在一元二次方程中

（1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当△=0时，方程有两个相等的实数根；

（3）当△<0时，方程没有实数根,方程有两个共轭虚根．

（1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有实数根．

上面结论反过来也成立，可以具体表示为：

在一元二次方程（a≠0，a、b、c∈R）中，

①当方程有两个不相等的实数根时，△>0；

②当方程有两个相等的实数根时，△=0；

③当方程没有实数根时，△<0。

（1）和（2）合起来：当方程有实数根时，△≥0．

注意 根的判别式是△=，而不是△=。

一元二次方程求根公式：

当Δ=≥0时，，当Δ=0时，x=;

当Δ=<0时，(i是虚数单位)

方程系数为虚数

在一元二次方程（a、b、c是虚数）中

当Δ≥0时，此方程有两个相等的复根；

当Δ<0时，此方程有两个不等的复根[1] 。

一元二次方程判别式的应用

（1）解方程，判别一元二次方程根的情况．

它有两种不同层次的类型：

①系数都为数字；

②系数中含有字母；

③系数中的字母人为地给出了一定的条件．

（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系．

（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）

应用

① 解一元二次方程，判断根的情况。

② 根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。

③ 证明字母系数方程有实数根或无实数根。

④ 应用根的判别式判断三角形的形状。

⑤ 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式

⑥ 可以判断抛物线与直线有无公共点

联立方程。

⑦ 可以判断抛物线与x轴有几个交点

抛物线与x轴的交点 （1）当y=0时，即有，要求x的值，需解一元二次方程。可见，抛物线与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程的根的情况确定的，而决定一元二次方程的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形：

1）当Δ>0时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为（x1，0）（x2，0）。

2）当Δ=0时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是（，0）。

3）当 Δ<0时，抛物线与x轴没有交点。

⑧ 利用根的判别式解有关抛物线（Δ>0）与x轴两交点间的距离的问题。

⑨当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。

一元三次方程判别式

在特殊形式的一元三次方程ax^3+bx+c=0中，其判别式为。当时，有一个实根和两个复根；时，有三个实根，当时，有一个三重零根，时，三个实根中有两个相等；时，有三个不等实根。

在一般形式的一元三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0中，一般采用盛金判别法，即

令。

当A=B=0时，方程有一个三重实根。

当Δ=B2－4AC>0时，方程有一个实根和一对共轭虚根。

当Δ=B2－4AC=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根。

当Δ=B2－4AC<0时，方程有三个不相等的实根。

特征方程的二重根是什么意思

重根是多项式方程重数大于等于2的根。

对代数方程，即多项式方程，方程f(x) = 0有根x = a则说明f(x)有因子(x - a)，从而可做多项式除法P(x) = f(x) / (x-a)结果仍是多项式。若P(x) = 0仍以x = a为根，则x= a是方程的重根。或令f1(x)为f(x)的导数，若f1(x) = 0也以x =a为根，则也能说明x= a是方程f(x)=0的重根。

在代数方程中,n(n>1)个根相同,那么这n个根叫做n重根.代数方程f(x)=0有重根,f(x)与f'(x)的公因式不低于1次.

f(x)是x的多项式,fm'(x)是f(x)的m阶导数f(a)=f'(a)=0,f''(a)≠0,f(a)有二重重根f(a)=f'(a)=f''(a)=..=fm'(a)=0,fm'(a)≠0,f(a)有m重重根

有重根,只把重根代入特征方程一次,然后求出基础解系,即可得到属于这个重根的特征向量

特征方程有二重根方程通解

例如二阶常系数齐次线性方程的形式为：y''+py'+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：

1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]

;2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]

;3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β),通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。至于n阶以及非齐次线性方程的情况，高数上都有，如果需要，还是把具体的题目发上来吧

二重特征根求特征向量

任一特征值都有无穷多属于它的特征向量，属于二重特征值的线性无关的特征向量的个数，不超过二个, 可以只有一个。

特征空间由所有有着相同特征值的特征向量组成的空间，还包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量，线性变换的主特征向量是最大特征值对应的特征向量。

考虑对于时间t的微分。其特征函数满足如下特征值方程：其中λ是该函数所对应的特征值。这样一个时间的函数，如果λ = 0，它就不变，如果λ为正，它就按比例增长。

如果λ是负的，它就按比例衰减。例如，理想化的兔子的总数在兔子更多的地方繁殖更快，从而满足一个正λ的特征值方程。