如何求反常积分的敛散性(求反常积分的敛散性例题)

如何求反常积分的敛散性

这种分母是多项式的，方法基本都是比较判别法，如果多项式次数大于1就是收敛的

求反常积分的敛散性例题

广义积分的敛散性判断是积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散 。

广义积分的敛散性判断解析

反常积分的敛散判断本质上是极限的存在性与无穷小或无穷大的比阶问题。首先要记住两类反常积分的收敛尺度：对第一类无穷限而言，当x→＋∞时，f（x）必为无穷小，并且无穷小的阶次不能低于某一尺度，才能保证收敛；对第二类无界函数而言，当x→a时，f（x）必为无穷大，且无穷大的阶次不能高于某一尺度，才能保证收敛；这个尺度值一般等于1，注意识别反常积分。

广义积分的几何意义：反常积分存在时的几何意义：函数与X轴所围面积存在有限制时，即便函数在一点的值无穷，但面积可求。

如何计算反常积分敛散性

反常积分敛散性用等价无穷小判别原理是根据等价无穷小替换定理的原理进行判别的

如何求反常积分的敛散性例题

No.1 直接计算法（或称定义法）

即通过直接计算反常积分来判断敛散性。若反常积分能计算出一个具体数值，则收敛，否则发散。此种方法适合被积函数的原函数容易求得时的反常积分敛散性的判别。

No.2 比较审敛法的极限形式

比较判别法的普通形式较为简单，不多赘述，接下来给大家归纳一下比较判别法的极限形式。

一般的,关于广义积分的敛散性,可以这样判断：1.如果可以通过积分求出具体值,那当然说明是收敛的；如果按照定积分一样的计算发现是趋于无穷,那当然说明是发散的；2.如果不好算出具体值,可以通过不等式进行放缩,

反常积分的敛散性公式

一、判定正项级数的敛散性；二、判定交错级数的敛散性；三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域；四、求幂级数的和函数与数项级数的和；五、将函数展开为傅里叶级数。

一、判定正项级数的敛散性

1.先看当n趋向于无穷大时，级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）。若不趋于零,则级数发散；如果趋于零，则考虑其它方法。

2.再看级数是否为几何级数或p级数，因为这两种级数的敛散性是已知的，如果不是几何级数或p级数，

3.用比值判别法或根值判别法进行判别，

4.再用比较判别法或其极限形式进行判别，用比较判别法判别，一般应根据通项特点猜测其敛散性，然后再找出作为比较的级数，常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等.

二、判定交错级数的敛散性

1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定.

2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定.

3.一般情况下，若级数发散，级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散，则级数必发散.

4.有时可把级数通项拆分成两个，利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定.

三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域

1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增，则其收敛半径由或求出，进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域.

2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数，可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数，再求收敛半径.

四、求幂级数的和函数与数项级数的和

1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式，再求和.

2.求数项级数的和，可利用定义求出部分和，再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值.

五、将函数展开为傅里叶级数

将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数，这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算，然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系。

如何求反常积分的敛散性函数

首先由不定积分的分部积分分法，lnx的不定积分等于

∫lnxdx

=xlnx-∫xdlnx

=xlnx-x+C

那么lnx的广义积分（在无穷区间（0，＋∝）上的广义积分等于∝，根据广义积分的敛散性定义：如果广义积分结果是常数，则收敛，否则发散知，函数lnx的广义积分是发散的

如何求反常积分的敛散性和发散性

1、定义法求积分值与判定积分的敛散性

定义法计算反常积分及判定反常积分的收敛性的依据：定积分的计算与积分结果求极限

即首先通过将无穷限的反常积分转换为有限区间上的定积分和将无界函数的反常积分转换为有界函数的定积分计算；然后对积分结果求极限；最后根据极限的存在性和极限值来计算得到反常积分的值或者判定反常积分的敛散性。

2、反常积分收敛性的判定方法

判定方法对照正项常值级数收敛性判定的比较审敛法与相类似的结论：p-积分与q-积分

(1)无穷区间上的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于p-积分的结论

(2)无界函数的反常积分收敛性判定方法的比较审敛法，基于q-积分的结论

【注1】对于同时包含两类反常积分的积分，借助积分对积分区间的可加性，分别转换为两类反常积分计算积分值或判定积分的收敛性。

【注2】对于一个反常积分转换为几个基本的反常积分进行收敛性的判定时，值得注意的是，只要一项积分发散，则整个积分发散。

【注3】反常积分同样可以使用“偶倍奇零”化简积分计算，注意能够使用的前提是反常积分收敛。

反常积分的敛散性判定

由敛散性的性质可得∫1/xdx=lnx，所以得到∫lnx/xdx=∫lnxd(lnx)=0.5(lnx)2代入积分的上下限正无穷和e显然x趋于正无穷时，lnx仍然趋于正无穷，因此广义积分是发散的。

定积分概念的推广至积分区间无穷和被积函数在有限区间上为无界的情形成为广义积分，又名反常积分。其中前者称为无穷限广义积分，或称无穷积分；后者称为无界函数的广义积分，或称瑕积分。

设函数f(x)定义在[a,b)上，而f(x)在x=b的任一左邻域内f(x)无界（此时称x=b为f(x)的瑕点）。若f(x)在任意[a,b-ε](0

类似可定义a为瑕点时的瑕积分。

又设c∈(a,b),函数f(x)以点c为暇点，那么当两个反常积分∫(a→c)f(x)dx和∫(c→b)f(x)dx均收敛时，反常积分∫(a→b)f(x)dx收敛。其值定义为：

∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx

=lim(ε→0+)∫[a→c-ε]f(x)dx+lim(ε→0+)∫[c+ε→b]f(x)dx,

否则该反常积分发散

反常积分的敛散性判别推导

正项级数收敛的充要条件

  收敛 部分和数列 有上界。

【说明】正项级数的部分和数列 单调增加，当 有上界时， 存在，故 收敛。

2.比较审敛法

已知 ，若 收敛，则 收敛；若 发散，则 发散。

3.比较审敛法的极限形式

4.比值法

5.根植法

6.积分判别法

设非负函数 在 上单调减少，则正项级数 与反常积分 的敛散性相同。

怎样求反常积分的敛散性

常用的计算反常积分的方法如下所述：用反常积分敛散性定义计算。即直接应用定积分的牛顿-莱布尼兹公式，但是原函数在瑕点处的取值需要求极限获得。需要注意的是定积分的换元积分法和分部积分法也适用于反常积分。

应用常用的反常积分进行计算。例如类似于p级数、对数p级数的反常积分，泊松积分，狄利克雷积分等。

反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。