什么是曲线(什么是曲线积分)

什么是曲线积分

DS是对弧长的积分。

ds表示定积分一个比f少一横的符号右上方是实数A 右下方是实数B，后面接一个含自变量的表达式最后一竖线加ds表示对该表达式在（A,B）间积分，从公式上看用牛顿莱布尼茨公式反求导将X=A带入减去将X=B带入所得的值。

曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。

什么叫曲线积分

通常将常微分方程的解称为积分曲线,常微分方程的解通常是某一变元的函数,在平面坐标系下代表一条曲线,

如dy/dx=f(x,y),它的解y=y(x)是一条曲线,由导数的意义可知,这条曲线在点(x,y)的斜率为f(x,y),如果给坐标平面上每一点赋一个方向,使该方向的斜率为f(x,y),那么二元函数f(x,y)定义了一个方向场,常微分方程的解就是一条这样的积分曲线,该曲线任意一点的斜率等于f(x,y)在该点的值,或积分曲线在该点的切线方向与方向场的方向一致

定义

设M为光滑流形，𝖃M为M上向量场，X∈𝖃M，I为闭区间，曲线c:I→M为曲线，且满足=X∘c，则c为X的积分曲线。

性质

若c,:I→M为X的积分曲线，满足存在t0∈I，c(t0)=，则c=。

公布时间

1993年，经全国科学技术名词审定委员会审定发布。

什么是曲线积分形式

“积分曲线”是天文学专有名词。来自中国天文学名词审定委员会审定发布的天文学专有名词中文译名，词条译名和中英文解释数据版权由天文学名词委所有。

什么曲线积分与方向有关

1、第一类是对弧长积分，即定义在弧长上,没有方向.如求非密度均匀的线状物体质量。可以看已知空间曲线的密度函数为f，然后求这条曲线的质量，m=fds

2、第二类是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分,有方向.如解决做功类问题。第二类曲线积分是讲方向的，对曲线ab和对曲线ba积分的结果是不一样的，因为它们的方向不同;而第一类曲线积分是不讲方向的，第二类可以转化成第一类。假设曲线正向，两者可互换，弧长元dscosθ=dx,dssinθ=dy,（cosθ,sinθ)是沿着正向曲线单位切向量。

第一类曲线积分和第二类曲线积分求的是一样的东西,都是一维的,所以是一维的一些相关量,如：线的质量,长度,等。

什么是曲线积分和曲面积分

1、两类曲线积分的计算方法复习（以曲线用参数方程给出为例）。

2、有向曲线弧的切向量及其方向余弦。

3、两类曲线积分间关系式的推导。

4、两类曲线积分间相互转化的公式（包括其向量形式）。

5、对本节内容的一些补充说明。

拓展信息：

第一型曲线积分 ∫c f（x，y）ds 是曲线质量（f是线密度）或曲线 下的面积（f是高度） ds是一小段线元长度第二型曲线积分 W=∫c F*dr=∫c M*dx+N*dy　是做功第一型曲面积分 ∫∫G f(x,y,z)dS 是曲面质量（f是曲面的面密度） dS是曲面上的一小块面积第二型曲面积分是　flux=∫∫F*n dS=∫∫R （-M*fx-N*fy+P）dxdy是通过曲面的流体的体积，因为流体是流向外的所以法向量n是指向封闭曲面的外部。格林公式用于解决 第二型曲线积分 与 面积分的转化……一般面积分可以转化为投影的（平面）面积分……可用二重积分解决……高斯散度定理是处理第二型曲面积分与三重积分的转化，一般复杂曲面可以转化为三重积分……可以较好地解决……物理意义是处理第二型曲面积分与三重积分的转化，封闭曲面内的源产生的流体量，等于通过这个封闭曲面的流体体积。 也就是为什么 封闭曲面内的体积 转化成 第二型曲面积分高斯散度定理降一维还可以 处理第二型曲线积分与二重积分的转化，物理意义是封闭曲线内的那块面积假想成一个源（比如说热源），产生的流体等于通过曲线散发出来的流体的量

什么是曲线积分对称性

轮换对称性使用条件：只要积分区域关于y=x对称就可以使用轮换对称性，使用轮换对称性的目的是简化计算，通常可以配合极坐标使用。

1积分轮换对称性特点及规律

(1)对于曲面积分，积分曲面为u(x,y,z)=0，如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)仍等于0，即u(y,z,x)=0，也就是积分曲面的方程没有变，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,z,x)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,x,z后，u(y,x,z)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(y,x,z)dS；如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成z,x,y后，u(z,x,y)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dS=∫∫f(z,x,y)dS，同样可以进行多种其它的变换。

(2)对于第二类曲面积分只是将dxdy也同时变换即可，比如：如果将函数u(x,y,z)=0中的x,y,z换成y,z,x后，u(y,z,x)=0，那么在这个曲面上的积分∫∫f(x,y,z)dxdy=∫∫f(y,z,x)dydz,∫∫f(x,y,z)dydz=∫∫f(y,z,x)dzdx,∫∫f(x,y,z)dzdx=∫∫f(y,z,x)dxdy。

(3)将(1)中积分曲面中的z去掉，就变成了曲线积分满足的轮换对称性:积分曲线为u(x,y)=0，如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，那么在这个曲线上的积分∫f(x,y)ds=∫f(y,x)ds；实际上如果将函数u(x,y)=0中的x,y换成y,x后，仍满足u(y,x)=0，则意味着积分曲线关于直线y=x对称。第二类三维空间的曲线积分跟（2）总结相同同。但第二类平面上的曲线积分不同∫f(x,y)dx=-∫f(y,x)dy.(注意前面多了一个负号）

(4)二重积分和三重积分都和(1)的解释类似，也是看积分域函数将x,y,z更换顺序后，相当于将坐标轴重新命名，积分区间没有发生变化，则被积函数作相应变换后，积分值不变。

2利用轮换对称性求最值

在高考或竞赛的选择、填空题中，常会遇到一类求最值词题，这类问题的特征是条件式与待求式都是轮换对称式即所给式中的字母x、y、z能依次轮换，相互代替，而结果不变，则关于x、y、z的代数式的最大(小)值，一定是在x＝y＝z＝时的值。运用此性质，能有效、迅速求解此类题，从而得宝贵的时间。

什么是曲线积分的定义

在数学中，曲线积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。曲线积分有很多种类，当积分路径为闭合曲线时，称为环路积分或围道积分。曲线积分可分为：第一类曲线积分和第二类曲线积分。设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧，f(x，y)在L上有界，在L上任意插入一点列

 把L 分成 n个小弧段

 的长度为ds，又

 是L上的任一点，作乘积

 ，并求和即

 ，记λ=max(ds) ，若

 的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及

 在L的取法无关，则称极限值为f(x，y)在L上对弧长的曲线积分，记为：

 ；其中f(x，y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分

什么曲线积分与路径有关

第二类曲线积分与路径无关的条件：满足条件就无关，不满足条件就有关。在一定的前提下，条件是，设dx前面的函数为P,dy前面的函数为Q，则【P\'y=Q\'x】是无关的条件。在数学中，曲线积分或路径积分是积分的一种。积分函数的取值沿的不是区间，而是特定的曲线，称为积分路径。

什么是曲线积分与路径无关

函数图像与x轴所成的上方面积与下方面积相等时。

对于二重积分，积分区域要是关于x、y对称的，被积函数是关于y、x的奇函数，则积分肯定为0。

对于三重积分，要是给定的积分空间区域关于xoy面对称，而积分式子是关于z的奇函数，则运用对称性，积分为零了，对与关于其他面的对称，看积分式子是否是关于垂直于对称面的坐标轴的奇函数就可以。

曲线积分分为：

（1）对弧长的曲线积分 （第一类曲线积分）

（2）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）

两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。