如何求矩阵的特征值(如何求矩阵的特征值和可逆矩阵)

如何求矩阵的特征值和可逆矩阵

合同矩阵怎么求

两个实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵P，使得A等于P的转置乘以P乘以B，就称矩阵A和B互为合同矩阵，并且称由A到B的变换叫合同变换。合同矩阵性质：

1.

两个矩阵合同一定都是实对称阵,答案都复合。

2.

合同矩阵一定具有相同特征值,即主对角线元素相等。 在线性代数,特别是二次型理论中,常常用到矩阵间的合同关系。

矩阵的特征值与可逆矩阵的特征值

矩阵不可逆，一定有一个特征值是0。

因为若矩阵不可逆，可矩阵的行列式为为0，又因为矩阵的行列式等于所有特征值的乘积，故必有一个特征值为0。

设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是A属于特征值λ的特征向量。

设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。

扩展资料：

求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：

1、计算的特征多项式；

2、求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；

3、对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则可求出属于特征值的全部特征向量

如何求矩阵的特征值和可逆矩阵的关系

设λ是A的特征值, α是A的属于特征值λ的特征向量

则Aα=λα.

若A可逆, 则λ≠0.

等式两边左乘A^-1, 得

α=λA^-1α.

所以有

A^-1α=(1/λ)α

所以 (1/λ)是A^-1的特征值, α是A^-1的属于特征值1/λ的特征向量.

所以互逆矩阵的特征值互为倒数

矩阵可逆 特征值

如果可逆矩阵A有特征值λ，就在某个特征方向上有y=Ax=λx的关系。因A可逆，必有x=A⁻¹y的关系。我们已经知道在某个特征方向上有y=λx的关系，那么，现在y是已知的，x就是那个使λx=y的那个x，那么就有x=y/λ的关系在。A⁻¹的一个特征值就是1/λ了。

可逆矩阵与特征值

由于可逆矩阵的特征值全部不等于零，如果k是矩阵A的一个非零特征值，则存在非零向量a: Aa=ka

则 A*Aa=kA*a

|A|a=kA*a

A*a=(|A|/k)a

|A|/k 是A*的一个特征值，1/k 是A的逆矩阵一个特征值。