如何证明函数可导(如何证明函数可导不可导)

如何证明函数可导不可导

如果函数在某点处可导,则一定在此点处连续.

同样,如果函数在某区间可导,则一定在此区间连续.

但是,如果函数在某点处可导,则不一定在此点的邻域连续.

例如：

当 x为有理数时,f(x) =0

当x为无理数时,f(x)=x^2

可以根据定义验证：此函数 在x=0处,连续且可导.但在x=0 的任一邻域都不连续.

“导函数存在则函数不一定连续” 这句不正确.导函数存在,通常指的是导数在一个区间存在,这样,函数在这个区间也连续.

“函数在点a处导数存在,为什么函数是不一定连续呢?”

函数在a处必连续,但不一定在a的邻域连续.如上例.

怎么证明函数可导

这种问题参考汪林的《实分析中的反例》，反例专家。。。首先已经有人提到了，这个函数是在0点可导但导数不连续。利用这个函数可以构造（作替换)在区间端点可导但导数不连续的函数，然后再把这个函数压缩一下定义到每个三分区间上，就得到了一个在 Cantor 集上满足条件的函数。当然也可以定义到 fat Cantor set 上。这样的函数叫做 Volterra 函数（wiki Volterra's function）。构造的想法是这样的，首先你得知道这个函数，它在原点不连续，而且非jump discontinuity（导函数不会有这样的间断点）。

然后用光滑的把它挤到原点使它在0点可导（这个函数被加在了之间）。

类似的如果想构造两个这样的点，在±1处有类似这样的性质，然后用类似但具有两个极值点的把这个函数的不可导点挤压成光滑的。

高数如何证明函数可导

单调不是单值，单调是函数值随自变的变化而改变时，自变量与函数值是一一对应关系（一个自变量对应一个函数值）， 可导是函数在定义域范围内每一点都有确定的导数值

怎样证明函数可导例题

两个可导函数的乘积的函数一定可导，因为若函数u（x），v（x）都可导，则

加减乘都可以推广到n个函数的情况，例如乘法：

求导运算也是满足线性性的，即可加性、数乘性，对于n个函数的情况：

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。

扩展资料：

导数的求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

如何证明函数可导不可导的例子

一定不可导 可到的定义：函数可导定义：若f(x)在x0处连续,则当a趋向于0时, [f(x+a)-f(x)]/a存在极限, 则称f(x)在x0处可导.由此 可知 不连续的函数一定不可导 而且 可到 必定 连续 。

高等数学怎么证明函数可导

最基本的方法是利用可导函数的四则运算法则和复合函数的可导性。

如果是抽象函数或定义式较特殊的，就用定义证明任取一点处都具有可导性。

2. f(x)=1+xg(x),而lim x->0 g（x）=1

证明f（x）在R上处处可导，且f'（x）=f（x）

1)f(0)=f(0)^2，结合条件2得到f(0)=1。

2)1=f(x-x)=f(x)f(-x)

条件2是连续性的条件，可以得到

1)lim x->0 f(x)=1=f(0)，即f(x)在0点连续。

2) lim x->0 [f(x)-f(0)]/x= lim x->0 g(x)=1，于是f(x)在0点可微且f'(0)=1。

接下来就可以直接证明结论了。

f'(x)

=lim Δx->0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx

=lim Δx->0 f(x)[f(x+Δx)f(-x)-1]/Δx

=f(x) lim Δx->0 [f(Δx)-1]/Δx

=f(x)f'(0)

=f(x)

怎么样证明函数可导

1.先求出这个函数f(x)在x0这一点的左导数

2.再求出这个函数f(x)在x0这一点的右导数

3.如果这两个导数值相等，那么就证明了这个函数在这一点可导，否则就不可导。