同态和同构区别(什么叫同态)

什么叫同态

验证有理数加群与3阶置换群间只有平凡同态

3阶置换群的假设太强， 不需要。 有理数到任何有限群G都只有平凡同态。 设 n 是G的阶数，f: Q->G 为同态。 对任一有理数a， f(a) = f(n*a/n) = f(a/n)^n = e(G的单位元）（G内任一元素的n次幂都是 单位元）

由 fh = g 知 Hᴀ(f)(h) = g，即，对于任意 g ∈ Hom(A, C) 都存在 h ∈ Hom(A, B) 使得 Hᴀ(f)(h) = g，这符合 满射的 定义，于是 Hᴀ(f) 是 满同态。

什么叫同态象

单位态射(unit morphism)亦称可逆态射，是集合范畴中单位映射(可逆映射)概念的推广。

设f:A→B为范畴C中的态射，若有态射u使uf=εA(A上的恒等态射)，则称f为左可逆态射，称u为f的左逆态射。

若有态射v使fv=εB，则称f为右可逆态射，称v为f的右逆态射。

若f同时为左可逆态射与右可逆态射，就称f为单位态射。当f是单位态射时，上述的u=v。因此单位态射又称为等价态射。

什么叫同态报应

罪刑相当的观念可以追溯到古代社会的“同态复仇”。远古社会，“同态复仇”极为盛行，到奴隶社会，“同态复仇”为法律所认可。但当时的“同态复仇”实际上是统治阶级酷刑的依据，是完全以结果论责任的绝对报应刑。

在反封建的斗争中，资产阶级启蒙思想家针对严刑酷罚的司法制度，提出了罪刑等价的观念。

著名思想家孟德斯鸠曾指出：“惩罚应有程度之分，按罪大小，定刑罚的轻重。”

① 贝卡利亚也指出：“犯罪对社会的危害，是衡量犯罪的真正标尺。”

② 在罪刑等价主义者看来，刑罚是对犯罪的一种回报，因此，刑罚的质和量完全以犯罪为转移，即犯罪对社会所造成的损害应当成为刑罚的尺度。

而犯罪包含了犯罪意图、主观恶性

什么叫同态系统

预测系统

预测系统是由预测者、预测信息、预测手段、预测对象各要素及其相互作用构成的预测活动和过程。预测过程是：预测者根据决策需要确定预测对象;搜集、整理、加工有关预测信息材料;确立预测技术和方法;建立预测对象的同态模型并转换为数学模型;进行预测得出结果;检验预测的准确性;交付决策者使用。预测的类型有：根据预测对象的未来目标时刻的长短，可分为长、中、短期预测;根据预测对象的性质，可分为社会、经济、科学、技术、军事等预测;按预测对象的规模有宏观、中观、微观预测。长期预测具有全局性、宏观性，预测结果是求得趋势值的饱和点。

什么叫同态满射

（这是关于《范畴论》一系列回答的第五篇，紧接在问题：”什么叫做一一变换？“ 之后，小石头将在本篇中对前面回答中遗漏的知识点进行补充。）

先回答题主的问题：简单来说，给集合赋予满足结合律的二元运算就是半群，具体分析如下：

自然数（包括零）是人类最早发现的一类数字，同时，加法运算也伴随着自然数一并产生。将全体自然数的集合记为 N，则对于任意 a, b ∈ N 都有 a + b ∈ N，可见 加法运算 在 自然数集 中 封闭，于是加法运算就是 二元函数，

+: N × N → N, (a, b) ↦ a + b

早期劳动人民通过实践，还总结出，加法满足结合律，即，

(a + b) + c = a + (b + c)

于是连加，被写成：

a + b + c

没毛病！

紧接，古人有在加法基础上发明了乘法运算，它同样 在 自然数集 中 封闭，当然 也是 个 二元运算，

· : N × N → N, (a, b) ↦ a · b

同样满足 结合律，

(a · b) · c = a · (b · c)

比较，(N, +) 和 (N, ·)，它们完全类似，于是 数学家 对它们进行了抽象，得到如下定义：

给定 非空集合 X，以及 X 上的 二元运算 ∘: X × X → X，如果 该运算 满足 结合律，即，

(a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)

则称 (X, ∘) 为 半群，可简写为 X。

(N, +) 和 (N, ·) 都是半群的 实例，再观察还能发现，它们中分别存在 0 和 1 这样的特殊数字，使得：

a + 0 = 0 + a = a

a · 1 = 1 · a = a

于是 数学家 继续抽象：

在 半群 (X, ∘) 中 如果存在 e ∈ X，使得：

e ∘ a = a ∘ e = e

则称 (X, ∘) 为幺半群，称 e 为幺元。

(N, +) 和 (N, ·) 也都是幺半群的 实例。

幺半群的实例很多，比如：

将，整数集、有理数集、实数集、复数集 分别记为 Z、Q、R、C，则 (Z, +)、(Z, ·)、(Q, +)、(Q, ·) 、(R, +)、(R, ·)、(C, +)、(C, ·) 都是 幺半群；

用 K₊ 表示 K 中 大于 0 的元素，则 (Q₊, ·) 是幺半群，而 (Z₊, +) 只是 半群 不是幺半群；

Mn(K) 表示数域 K 上的 全体 n 阶方阵，则 Mn(K) 在矩阵的 乘法运算下 构成 幺半群，单位矩阵 E 就是其中的幺元；

在 任意范畴 C 中，函子的 复合运算 ∘ 也满足 结合律，但是 复合运算 仅仅是 MorC 上有条件 的 二元元素，即，

∘: MorC × MorC ⇝ MorC

必须满足 cod f = dom g 的条件 g ∘ f 才存在，所以 (MorC, ∘) 一般来说并不是 幺半群。

但是考虑 只含有 一个对象的范畴，例如，前文中提到的 由 一个对象 R 和全体 R 上的实数函数 构成的 范畴 Ṙ，可以保证满足条件，而 1ʀ 则是幺元，于是类似这样的范畴全体态射和复合运算构成 幺半群。首次启发，对于 C 中任意对象 A，Hom(A) 关于 复合运算 也 构成 幺半群。

函子范畴 Funct(A, B) 对于其中任意函子 F: A → B，其上所有 自由变换 在 自由变换的复合运算 下构成 幺半群，其中 1ғ 是幺元。

除了以上这样已有的幺半群，给定任意集合 X 我们还可以构造一个 幺半群 Y，构造方法如下：

将 X 看做字母表，其中的元素称为字母；

令 Y 是所有以 X 为字母的单词的组成的集合；

把 Y 中任意两个单词 x, y 拼接在一起，得到的 xy 依然是单词，于是 将这种拼接定义为 在 Y 上 二元运算为，即， x ∘ y = xy；

将空白 ” “ 视作字母，则有 x ∘ = x = ∘ x，将其 作为幺元加入 Y；

最终，我们就得到了一个 幺半群，称为自由幺半群。

实际的构造过程如下：

最初 令 Y = X；

任取 Y 中两个元素 x 和 y，如果 xy 不属于 Y 则令 Y = Y ∪ {xy}，一直重复这个过程；

最后 令 Y = Y ∪ {” “}；

例如：

如果 X = {a, b, c} 则构造结果为 Y = {” “, a, b, c, ab, ac, bc, ba, ca, cb, aabb, ...}

给定一个集合 X，以其作为字母表，我们可以构造一个 自由幺半群 Y，反过来，给定一个 自由幺半群 Y，我们也可以筛选出作为其字母表的集合 X。

观察，(Z, +) 和 (Q, ·) 我们发现，它们还有共同点：

对于 任意 a ∈ Z，都有 b = -a ∈ Z 使得 a + b = b + a = 0；

对于 任意 a ∈ Q，都有 b = 1/a ∈ Z 使得 a · b = b · a = 1；

于是数学家规定，

如果 幺半群 (X, ∘) 满足，

对于 任意 a ∈ Y，都有 存在 b ∈ Y 使得 a ∘ b = b ∘ a = e，则该幺半群 为 群，称 b 为 a 的逆元，记为 a⁻¹。

有了以上这些抽象的代数系统的定义，数学家就可通过研究它们得到 普遍性的 数学结论，研究 抽象代数系统 的数学称为《抽象代数》。

如果 两个群 G 和 G' 之间的 函数 f: G → G' 如果 对于任意 a,b ∈ G ，都满足：

f(a ∘ b) = f(a) ∘ f(b)

则称 f 为 群同态。再 如果 f 又是双射，则称 f 为 群同构，并称 G 和 G' 同构，记为， G ≅ G'。

群同态的函数复合还是群同态；每个群上的恒等变换是群同构。

于是，以 全体群作为对象 与 群之间的 全体 群同态作为态射，组成 一个范畴，记为 Grp。

考虑 函子 F: Grp → Set，它将 Grp 的每个 群 X 映射为 Set 中的 集合 X，Grp 的每个 群同态 f 映射为 Set 中的 函数 f， 我们称这类函子为 忘却函子。

群是不能为空的，最小的群是只含有幺元 e 的群，称为 平凡群。在 Grp 平凡群 既是 初始对象 又是 终止对象，故 它是零对象。

设，e' 是 G' 的 幺元，定义集合：

Ker(f) = {x ∈ G | f(x) = e}

称 Ker(f) 为 f 的同态核。

那么，我们如何 将 同态核 的概念 用范畴的语言来表示呢？

显然 Ker(f) ⊆ G，因此存在 含入映射映射：i: Ker(f) → G。

可以证明 Ker(f) 是一个群，而 i 是 群同态，故 Ker(f) 是 Grp 的对象，i 是 Grp 的态射。

又可以定义 常值群同态 z : G → G'，z(x) = e'，这样就有了：

zi = c

zi = c

即，

zi = fi

这满足等子的条件。于是只要能保证 z 的存在我们就可以利用等子来 表达 同态核。

先看 z 是一个什么东西？

由于 z 是 常值 的，于是 z 是 常态射，同时不难发现 z 还是 余常态射，于是 z 是零态射。

经过数学家研究，发现如下定理：

如果 范畴 C 中存在 零对象，那么对于任意对象 A，B 必然存在唯一的 零态射 z：A → B。

（由于篇幅有限，定理证明略。）

这样，我们就可给 同态核 下如下定义：

在有 零对象 的范畴 C 中，对于任意 态射 f: A → B，设，z 是 A 到 B 的 零态射，称 f 和 z 的等子 为 f 的核，记为 ker(f)。

我们还可以定义 核的 对偶概念：

在有 零对象 的范畴 C 中，对于任意 态射 f: A → B，设，z 是 A 到 B 的 零态射，称 f 和 z 的 余等子 为 f 的 余核，记为 coker(f)。

在 Grp 中 群同态 f 不讲 余核，余核 是 另一种 抽象代数系统 模 中 关于 模同态 的概念。

末尾，我们来聊一下，霍姆函子 Hᴀ, Hᴬ: C → Set，A ∈ ObC 的一些有趣特性。

给定 C 中的 任意 满态射 f: B → C，如果 对于任意 态射 g: A → C 都有 h: A → B，使得

fh = g

则 Hᴀ(f): Hom(A, B) → Hom(A, C) 一定是 满同态，反之亦然。为什么呢？

由 fh = g 知 Hᴀ(f)(h) = g，即，对于任意 g ∈ Hom(A, C) 都存在 h ∈ Hom(A, B) 使得 Hᴀ(f)(h) = g，这符合 满射的 定义，于是 Hᴀ(f) 是 满同态。

这个推理过程可逆，因此 反之亦然。

类似地，给定 C 中的 任意 满态射 f: C → B，如果 对于任意 态射 g: C → A 都有 h: B → A，使得

hf = g

则 Hᴬ(f): Hom(C, A) → Hom(B, A) 一定是 满同态，反之亦然。证明和上面的类似。

如果 对于 C 中的任意 两个 不同态射 f, g: B → C, f ≠ g，都有 h: A → B 使得

fh ≠ gh

则 Hᴀ 一定是 可信函子，反之亦然。为什么呢？

由 fh ≠ gh 知 Hᴀ(f)(h) = Hᴀ(g)(h)，故 Hᴀ(f) ≠ Hᴀ(g)，于是得到：f ≠ g ⇒ Hᴀ(f) ≠ Hᴀ(g)，其逆反命题为：Hᴀ(f) = Hᴀ(g) ⇒ f = g，这符合单射的定义，所以 Hᴀ 在每个 Hom(B, C) 到 Hom(Hᴀ(B) = Hom(A, B), Hᴀ(C) = Hom(A, C)) 上 都是 单射，因此 Hᴀ 是 可信函子。

这个推理过程可逆，因此 反之亦然。

类似地，如果 对于 C 中的任意 两个 不同态射 f, g: B → C, f ≠ g，都有 h: C → A 使得

hf ≠ hg

则 Hᴬ 一定是 可信函子，反之亦然。证明和上面的类似。

好了由于篇幅有限，这个回答到这里了。能坚持看到这里的条友们，一定是对范畴论抱有极大热情的，同时也能从中获得无比的快乐。小石头在写这些回答的时候，是非常享受的，因为将这份乐趣也分享给大家。

下一篇回答，小石头将会介绍 范畴论 中的 最华彩 乐章——伴随，尽请关注。

（最后，由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎大家批评指正，非常感谢！）

什么叫同态复仇法

同态复仇是原始社会中一种复仇的习俗。当氏族部落成员遭受其他氏族部落成员的伤害时，则对后者施以同样的伤害，即所谓“以眼还眼，以牙还牙”。早期奴隶制法律仍保留有这一习惯。

什么叫同态滤波?有何特点

答用比字组词答有:比起，比钱，必去，比穷，比奇，比丘，丘比，恰比，比我，比武，比完，逼王，无比，我比，委比，我比，比人 ，比热，日比，人比，瑞比，比他，比她，比特，比它，他比，同比，特比，托比，特比，比喻，比亚，比呀，比翼，要比，也比，一比，远比，有比，呀比，又比，亚比，优比，比较，比偶，比拼，比配评比，攀比，配比，排比，攀比，拼比，撇比，坡比，阿比，比赛，比谁，比试，比萨，比啥，比数，比速，比对，比的

什么叫同态滤波

比的组词，例如:

攀比 [ pān bǐ ]指不顾自己的具体情况和条件，盲目与高标准相比。

比翼 [ bǐ yì ]翅膀挨着翅膀（飞）。

栉比 [ zhì bǐ ]像梳子齿那样密密地排着。

比周 [ bǐ zhōu ]1.结党营私。 2.集结；联合。 3.亲近。

比附 [ bǐ fù ]拿不能相比的东西来勉强相比。

配比 [ pèi bǐ ]组成某种物质的各种成分在数量上的比例关系。

什么叫同态复仇

近义词：血债血偿，汉语成语，拼音是xuè zhài xiě cháng，意思是指必须要其付出相应的代价来补偿。

例句

面对非正义，人类最本能的是同态复仇，要求血债血偿。

电视剧里他的这笔血账，要叫愁人血债血偿。

小说里，他发誓要让愁人遭受他一样的痛苦，让他们血债血偿。

什么叫同态映射

同态就是保运算的映射,比如从一个群到另一个群的映射如果保持群加法不变,即f(u*v)=f(u)*f(v),那么这个映射f就是一个同态.

如果一个同态是从自身映射到自身,就叫自同态；

如果一个同态是单射,就叫单同态；

既是单同态又是自同态就叫单自同态