f范数和2范数区别(2范数和f范数什么时候相等)

2范数和f范数什么时候相等

如果f是平方可积的可测函数，一定按照2范数收敛，但是逐点收敛做不到。

2范数和f范数的关系

范数表示的是向量的长度或者矩阵的大小，它是一种运算，只要向量运算满足非负定性，其次性，三角不等式性和乘法相容性，矩阵运算满足上面的前三条性质就可以定义为范数运算，比如F=2的时候表示向量或者矩阵的2范数，F=1的时候代表1范数。

常用向量范数的定义简单一些，就是所有元素绝对值的F次方相加再开F次方，常用矩阵范数有1范数2范数和无穷范数，1范数就是列范数，矩阵的各列绝对值之和的最大值，无穷范数就是行范数，矩阵各行的绝对值之和的最大值，2范数就是镨范数，它在矩阵不为0的时候等于矩阵的谱半径。

f范数和2范数的大小关系证明

由于向量的F-范数就是2-范数，所以F-范数和向量的2-范数相容

f范数和2范数相容

1-范数：是指向量（矩阵）里面非零元素的个数。类似于求棋盘上两个点间的沿方格边缘的距离。||x||1 = sum（abs(xi)）

一般来讲矩阵范数除了正定性，齐次性和三角不等式之外，还规定其必须满足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩阵范数通常也称为相容范数。

　　如果║·║α是相容范数，且任何满足║·║β≤║·║α的范数║·║β都不是相容范数，那么║·║α称为极小范数。对于n阶实方阵（或复方阵）全体上的任何一个范数║·║，总存在唯一的.实数k>0，使得k║·║是极小范数

2范数和f范数什么时候相等的

定义：如果范数║·║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立，那么这个范数称为酉不变范数。　容易验证，2-范数和F-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值，所以由奇异值得到的范数是酉不变的，比如2-范数是最大奇异值，F-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。　反过来可以证明，所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系：　定理(Von Neumann定理)：在酉不变范数和对称度规函数(symmetric gauge function)之间存在一一对应关系。　也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数。

二范数和f范数大小

矩阵的f范数计算公式是x||x||2/f=2x。

1、矩阵范数是数学中矩阵论、线性代数、泛函分析等领域中常见的基本概念，是将一定的矩阵空间建立为赋范向量空间时为矩阵装备的范数。矩阵求导麻烦就在于很多时候，直接用链式法则不管用，强行用的话需要做很多转置、reshape的变换，才能让矩阵之间的维度匹配。

2、范数是由向量范数诱导而来，F范数是直接定义。如果把矩阵看作线性算子，则矩阵的范数可以看作由在两个向量空间上分别定义的范数诱导而来。

3、f范数实际上就是衡量这个矩阵和对应的零矩阵的距离，就像二维平面上的一个点，和原点的距离就是它的f范数。

2范数和f范数区别

三角不等式（加法性质）：‖A-B‖≤‖A‖＋‖B‖；

f范数和2范数的关系证明

（1）矩阵的核范数：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩——低秩）；

（2）矩阵的L0范数：矩阵的非0元素的个数，通常用它来表示稀疏，L0范数越小0元素越多，也就越稀疏。

（3）矩阵的L1范数：矩阵中的每个元素绝对值之和，它是L0范数的最优凸近似，因此它也可以近似表示稀疏；

（4）矩阵的F范数：矩阵的各个元素平方之和再开平方根，它通常也叫做矩阵的L2范数，它的有点在它是一个凸函数，可以求导求解，易于计算；

（5）矩阵的L2,1范数：矩阵先以每一列为单位，求每一列的F范数（也可认为是向量的2范数），然后再将得到的结果求L1范数（也可认为是向量的1范数），很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数

二范数和f范数

两竖表示这个式子是数学中范数的意思，底角的2表示是2范数，上面的2表示2范数的平方。 根据里面式子的类型，可以分为如下几种2范数：

矩阵2范数：矩阵A的2范数就是 A的转置乘以A矩阵特征根 最大值的开根号；

向量2范数：向量x的2范数是x中各个元素平方之和再开根号；

函数2范数：函数f(x)的2范数是x在区间(a,b)上f(x)的平方的积分再开根号。

f范数和2范数等价

比如一个函数的 值 域 如果是 (1,2) (注意是值域) 它的最大值不存在，最小值也不存在（取不到1和2），但是它是有界的。

函数在一个区间有最大和最小值 跟 函数在一个区间有界 不一样的

就算函数在一个区间没有最大和最小值，函数也可以有界的。

举例 y=x x∈(0,1)，开区间，这么简单的有界函数在开区间上也没有最大值和最小值的。

再比如y=|x| x≠0时，y=1 x=0时。x∈[-1,1] 这个函数也是有界的，但是却没有最小值，因为取不到y=0 （x=0那一点被我挖掉换成y=1这个点了）。

有界指的是 函数的取值范围在一个有限的范围内， 就是说 存在某俩个实数m和M，使得

m

有界的严格定义：f:A→B 是一个函数，B是一个赋范空间（欧氏空间Rn是赋范空间的一个特例）。

如果存在正实数M，使得对于任意的x∈A，f(x)在B中的范数都≤M，那么称函数f是有界函数。

A不一定是区间，可以是任何的定义域，有界与否是由f(A)的范数（在欧氏空间的话就是绝对值或模长）被限制在一个有限的范围内确定的，最值的存在性是有界的充分非必要条件，二者不是等价的。

2范数与f范数

两竖表示这个式子是数学中范数的意思，底角的2表示是2范数，上面的2表示2范数的平方。根据里面式子的类型，可以分为如下几种2范数:矩阵2范数:矩阵A的2范数就是 A的转置乘以A矩阵特征根 最大值的开根号;向量2范数:向量x的2范数是x中各个元素平方之和再开根号;函数2范数:函数f(x)的2范数是x在区间(a,b)上f(x)的平方的积分再开根号。