如何理解矩(如何理解矩阵等价)

如何理解矩阵等价

我觉得等价包含行等价和列等价，就是等价是总称，具体分类是行等价列等价

何为矩阵等价

1，等价矩阵的性质：

2，矩阵A和A等价（反身性）；

3，矩阵A和B等价，那么B和A也等价（等价性）；

4，矩阵A和B等价，矩阵B和C等价，那么A和C等价（传递性）；

5，矩阵A和B等价，那么IAI＝KIBI。（K为非零常数）

6，具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解

87，对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

扩展资料：

A进行一系列初等变换直到B，则A与B等价，即存在一个逆矩阵PQ，使B＝PAQ，则AB秩相同。

AB的相似度是存在，但逆矩阵P使B＝P－1ap，所以相似度结论强于等价性。

它们有更多的性质相同的特征值，相同的行列式

等价通常意味着你可以通过初等变换将它转换成另一个矩阵，本质上就是通过与另一个矩阵具有相同的秩。这是一个非常宽泛的条件。它并不适用于很多地方。

A和B很相似，有一个不变矩阵P，使得Pap＾－1＝B，这是线性代数或高等代数中最重要的关系，高等代数中有一半都在处理这个关系。相似导致等价。

矩阵等价概念

矩阵等价：

在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。

性质

1.矩阵A和A等价(反身性）；

2.矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；

3.矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；

4.矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)

5.具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解

6.对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

扩展资料:

证明

a1,a2,....an,线性无关，而a1,a2,....an,b,r线性相关，所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,则x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,说明a1,a2,...an,b线性相关，同理x=0,可得a1,a2,....an,r线性相关。

若x,y都不为零，两边除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,这表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可证明r可以用a1,a2,....an,b表示。这就说明a1,a2,....an,b与a1,a2,....an,r等价.综合可得命题得证。

当A和B为同型矩阵，且r（A）=r（B）时，A，B一定等价。

如何理解矩阵等价条件

必要条件是：两个矩阵A和B等价，当且仅当存在两个可逆矩阵P和Q，使得A=PBQ。其中，可逆矩阵是行列式不为0的矩阵。

换句话说，如果两个矩阵A和B等价，那么它们可以通过一系列的初等变换，最终转化成同一个矩阵。而这个矩阵就是它们的标准形式，因此等价的矩阵具有相同的标准形式。

需要注意的是，这个条件是充分必要的，也就是说只有当这个条件满足时，两个矩阵才是等价的。否则，它们不等价。

矩阵等价说明了什么

矩阵的等价：经过六个初等变换的矩阵之间具有等价关系，主要是指型和秩相同。

相似的两个矩阵一定是等价的矩阵。

等价矩阵未必相似。

按定义，如果存在可逆阵P、Q，使P*A*Q=B，则称A与B等价。

矩阵相似的定义是：存在可逆阵P，使P^<-1>*A*P=B，则称A与B相似，

因为P^<-1>与P都是可逆阵，由矩阵等价的定义知，A与B是等价的。

如何理解矩阵等价的概念

一、矩阵等价、相似和合同之间的区别：

1、等价，相似和合同三者都是等价关系。

2、矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。

3、矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。

4、矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB。

5、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B。

6、当上述矩阵P是正交矩阵时，即PT=P(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。

二、矩阵等价、相似、合同之间联系：

1、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。

2、矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。

3、 矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。

4、总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。

矩阵等价意味着

矩阵等价指的是两个矩阵经过一系列的基本行变换或基本列变换后，能够变成具有相同行列式的矩阵，也就是行简化阶梯形矩阵（Reduced Row Echelon Form，RREF）形式相同。这种操作也称为高斯消元法。

矩阵等价有什么性质

1，等价矩阵的性质：

2，矩阵A和A等价（反身性）；

3，矩阵A和B等价，那么B和A也等价（等价性）；

4，矩阵A和B等价，矩阵B和C等价，那么A和C等价（传递性）；

5，矩阵A和B等价，那么IAI＝KIBI。（K为非零常数）

6，具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解

87，对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：

（1）矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。

（2）当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。

扩展资料：

A进行一系列初等变换直到B，则A与B等价，即存在一个逆矩阵PQ，使B＝PAQ，则AB秩相同。

AB的相似度是存在，但逆矩阵P使B＝P－1ap，所以相似度结论强于等价性。

它们有更多的性质相同的特征值，相同的行列式

等价通常意味着你可以通过初等变换将它转换成另一个矩阵，本质上就是通过与另一个矩阵具有相同的秩。这是一个非常宽泛的条件。它并不适用于很多地方。

A和B很相似，有一个不变矩阵P，使得Pap＾－1＝B，这是线性代数或高等代数中最重要的关系，高等代数中有一半都在处理这个关系。相似导致等价。

矩阵等价说明啥

一、矩阵等价、相似和合同之间的区别：

1、等价，相似和合同三者都是等价关系。

2、矩阵相似或合同必等价，反之不一定成立。

3、矩阵等价，只需满足两矩阵之间可以通过一系列可逆变换，也即若干可逆矩阵相乘得到。

4、矩阵相似，则存在可逆矩阵P使得，AP=PB。

5、矩阵合同，则存在可逆矩阵P使得，P^TAP=B。

6、当上述矩阵P是正交矩阵时，即P^T=P^(-1)，则有A，B之间既满足相似，又满足合同关系。

二、矩阵等价、相似、合同之间联系：

1、矩阵等秩是相似、合同、等价的必要条件，相似、合同、等价是等秩的充分条件。

2、矩阵等价是相似、合同的必要条件，相似、合同是等价的充分条件。

3、 矩阵相似、合同之间没有充要关系，存在相似但不合同的矩阵，也存在合同但不相似的矩阵。

4、总结起来就是：相似=>等价，合同=>等价，等价=>等秩。