变分和微分区别(变分与微分的相同点与不同点)

变分与微分的相同点与不同点

根据科内利乌斯·兰佐斯的说法，任何可以用变分原理来表达的物理定律描述一种自伴的表示。这种表示也被说成是厄米的，描述了在厄米变换下的不变量菲利克斯·克莱因的爱尔兰根纲领试图鉴识这类在一组变换下的不变量。在物理学的诺特定理中，一组变换的庞加莱群（广义相对论中被称为规范群）定义了在一组依赖于变分原理的变换下的对称性，即作用原理[2] 。

变分法是讨论泛函极值的工具，所谓泛函，是指函数的定义域是一个无限维的空间，即曲线空间。在欧氏平面中，曲线的长的函数是泛函的一个重要的例子。一般来说，泛函就是曲面空间到实数集的任意一个映射。

函数的微分定义式为f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx+o(x);那么泛函的微分有类似的定义：Φ(γ+h)-Φ(γ)=F+R,此处F为h的函数，R=o(h^2).注意，这里和微分不同的是h不一定是无穷小量。设有一个体系，其中能量的有关条件已知，换句话说，已经知道体系的哈密顿算符H。如果不能解薛定谔方程来找出波函数，可以任意猜测一个归一化的波函数，比如说φ，结果是根据猜测的波函数得到的哈密顿算符的期望值将会高于实际的基态能量。变分原理是变分法的基本原理，用于量子力学和量子化学来近似求解体系基态。

变分与微分可以换序

关于数学分支的总结

基础数学：

数论：古典数论 解析数论，代数数论，超越数论, 模型式与模函数论

代数学：线性代数 群论, 群表示论, 李群, 李代数, 代数群, 典型群, 同调代数, 代数K理论, Kac-Moody代数, 环论, 代数, 体, 格, 序结构. 域论和多项式 拓扑群 矩阵论 向量代数 张量代数

几何学：（整体，局部）微分几何, 代数几何, 流形上的分析, 黎曼流形与洛仑兹流形, 齐性空间与对称空间, 调和映照, 子流形理论,

杨--米尔斯场与纤维丛理论, 辛流形. 凸几何与离散几何 欧氏几何 非欧几何 解析几何

拓扑学：微分拓扑, 代数拓扑, 低维流形, 同伦论, 奇点与突变理论, 点集拓扑. 流形和胞腔复形 大范围分析,微分拓扑 同调论 复流形

变分和微分符号可以互换吗

微分

设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，(注：o读作奥密克戎，希腊字母),那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。

通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

变分法与微分法的区别

把复合函数的微分法反过来用于求不定积分，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法，称为换元积分法，简称换元法，换元法通常分为两类：

第一类换元法：

设f(u)具有原函数F(U)，即。

F'(U)=f(u)，∫f(u)du=F(U)+C。

如果u是中间变量,u=φ(x)，且设φ(x)可微，那么，根据复合函数微分法有：

dF(φ(x))=f(φ(x))φ'(x)dx。

从而根据不定积分的定义就得：

∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

于是有下述定理：

定理1：设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：

∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x)) (1)。

将所求积分∫φ(x)dx表成∫f[φ(x)]φ'(x)dx就是凑微分过程，然后就是换元，也就是将积分变量x换成u；最后是求原函数，实际上就是∫f[φ(x)]φ'(x)dx不好求。

而∫f(u)du好求，所以先求出后一个不定积分；最后再将变量u换成x。当熟练掌握这一方法后，可以不必引入变量u。

由此定理可见，虽然∫f[φ(x)]φ'(x)dx是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可当作变量x的微分来对待，从而微分来对待。

从而微分等式φ'(x)dx=du可以方便地应用到被积表达式中来，我们在上节第一题目中已经这样用了，那里把积分∫F'(x)dx,记作∫dF(x)，就是按微分F'(x)dx=dF(x)，把被积表达式F'(x)dx。记作dF(x)

设要求∫g(x)dx，如果函数g(x)可以化为g(x)=f[φ(x)]φ'(x)的形式，那么：

∫g(x)dx=∫f[φ(x)]φ'(x)dx=[∫f(u)du] (u=φ(x))。

这样，函数g(x)的积分即转化为函数f(u)的积分，如果能求得f(u)的原函数，那么也就得到了g(x)的原函数。

第二类换元法：

上面介绍的第一类换元法是通过变量代换u=φ(x),将积分∫f[φ(x)]φ'(x)dx化为积分∫f(u)du。

下面将介绍的第二类换元法是，适当地选择变量代换x=φ(t),将积分∫f(x)dx化为积分，∫f[φ(t)]φ'(t)dt，这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为：

∫f(x)dx=∫f[φ(t)]φ'(t)dt。

这公式的成立是需要一定条件的，首先，等式右边的不定积分要存在，即∫f[φ(t)]φ'(t)dt有原函数；其次，∫f[φ(t)]φ'(t)dt求出后必须用x=φ(t)的反函数t=φ^(-1)(x)代回去。

为了保证这反函数存在而且是可导的，我们假定直接函数x=φ(t)在t的某一个区间(这区间和所考虑的x的积分区间相对应)上是单调的，可导的，并且φ'(t)=0。

归纳上述，给出下面的定理：

定理2 设x=φ(t)是单调的，可导的函数，并且φ'(t)≠0.又设f[φ(t)]φ'(t)具有原函数，则有换元公式。

∫f(x)dx={∫f[φ(t)]φ'(t)dt} (t=φ^(-1)(x))(2)。

其中φ^(-1)(x)是x=φ(t)的反函数。

注意：与第一类换元积分法相反，第二类换元积分法就是由于积分∫f(x)dx不便计算，而改求∫f[φ(t)]φ'(t)dt。关键是：如何选择变量替换。

扩展资料：

不定积分的4种积分方法：

1、凑微分法：把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。要求：熟练掌握基本积分公式。对于复杂式子可以将其分为两个部分，对复杂部分求导，结果与简单部分比较。

2、换元法：包括整体换元，部分换元。还可分三角函数换元，指数换元，对数换元，倒数换元等等。须灵活运用。注意：dx须求导。

3、分部积分法：利用两个相乘函数的微分公式，将所要求的积分转化为另外较为简单的函数的积分。注意：对u和v要适当选择。

4、有理函数积分法：

有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，由多项式的除法可知，假分式总能化为一个多项式与一个真分式之和

变分与微分交换

sin (π/2+α)=cosα cos (π/2+α)=—sinα

比如说sinx和cosx之间是怎样转换的，最简单的就是用诱导公式:sin (π/2+α)=cosα cos (π/2+α)=—sinα。 三角函数有很多公式，最常用的有“诱导公式”、“二倍角公式”、“辅助角公式”和“降次公式”等等。

公式一

设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等

k是整数 　sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

sec（2kπ+α）=secα

csc（2kπ+α）=cscα

公式二

设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系 　sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

sec(π+α)=-secα

csc(π+α)=-cscα

公式三

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系 　sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

sec(-α)=secα

csc(-α)=-cscα

公式四

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系 　sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=－cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

sec(π-α)=-secα

csc(π-α)=cscα

公式五

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系 　sin（2π－α）=－sinα

cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα

sec(2π-α)=secα

csc(2π-α)=-cscα

公式六

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系 　sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sec(π/2+α)=-cscα

csc(π/2+α)=secα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

扩展

对于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有：sinA / a = sinB / b = sinC/c

也可表示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

变形：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC

其中R是三角形的外接圆半径。

它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 （sinA）/a是通过A，B和C三点的圆的直径的倒数。

正弦定理用于在一个三角形中已知两个角和一个边求未知边和角；已知两边及其一边的对角求其他角和边的问题。这是三角测量中常见情况。

三角函数正弦定理可用于求得三角形的面积：S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

sin cos 转化公式

变分与微分的相同点与不同点的区别

变分法（calculusofvariations），是处理函数的变量的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。 　　微分法，化学动力学中应用反应的速率方程求取反应级数n的方法。 　　化学动力学中应用反应的速率方程求取反应级数n的方法。 　　对于只有一种反应物或各种反应物浓度在反应过程中保持相等的n级反应，速率方程为据此可以进一步导出将被测反应的实验所得之时间t与浓度cA对应数据作cA对t曲线。在曲线的两个点1及2上分别求曲线的斜率，-dcA,l/dt及-dcA,2/dt，连同C,1、CA,2数据代入上式，即可求得反应级数n。

求变分和求微分

这里存在对谁求导，对谁积分的问题。

如果你只看x是未知数，那么你就难以学明白。

你一定要做到看谁都是狗。而这个狗，就是换元法的精髓了。

比如说狗是x的函数，∫sin狗d狗=-cos狗＋C。

∫sin狗dx，这个没法直接积。比如狗＝2x，那么就是d狗＝2dx，这里就用到了第一类换元法，也叫作凑微分法。

那么原式等于∫sin狗2dx再乘个½，

就是½∫sin狗d狗，等于-½cos狗＋C。

第二类换元法，通常直接叫换元法。有根式换元，令根号整体等于t，解出关于t的函数，换元以后的dx求微分变成，狗dt，定积分的话上下限也要换元。还有三角换元，就是整出三角函数来简化计算。我找到一道合适的题目。

这是分子带根号的：用的是根式换元。

这是整体带根号的：把整体令成t之后，会出现1/(1+t²)²，这个不会积。所以，用三角换元解决这个问题。

总之千变万换，就是往你背的基本公式上凑。

说一个特别常见的公式，凑微分贼常用。du/√u＝d2√u。d√u= 1/2√u du，正着求导谁都会，反过来积分不一定能很快想起来。这个公式常见到可怕。想一会儿，谁都会积出来，但是记住之后速度上来了。其实最常见的还是＋C。

变分和微分计算一样

变分分析属于现代数学的一个分支，它是一门关于优化、平衡、控制、系统稳定性等方面的分析学。其内容包括：极小和极大理论、凸性、锥和宇宙包、集值分析、变分几何、次微分、对偶理论等等。变分分析权威著作有Rockafellar和Wets合著的《Variational Analysis》。Rockafellar是变分分析方面的顶尖专家。

变分与微分的相同点与不同点的关系

这可能与每个人头发类型、头发分布、发质以及对头发风格的喜好有关。

分碎发是一种改善头发外观的较轻的头发造型，大家会选择适合自己头发类型和发质的分碎发打扮，因此他人选择的微分碎发确有可能与你不太相同，会选择中分碎发。