恒成立与存在性区别(恒成立与存在性问题的结论)

恒成立与存在性问题的结论

恒成立问题的处理思路：

1、凡是恒成立问题最终一定会得到关于参数的式子与非参的式子的一个大小关系（可以是大于等于或者等于等等情况）。这样就有两种通常的处理思路。转化为求最值问题或者分离参数求最值问题。

2、求最值的方法有许多，最常用的就是二次函数求最值和用导数法求最值。如f(x)<m恒成立，只需让f(x)的最大值小于m即可。这就是典型的最值问题。之间需要文字叙述转化一下。

3、分离参数求最值问题。区别就是关于参数的式子需要分离到一边，关于x的式子分离到另一边，这样就同样可以解决关于参数的不等式。

恒成立和存在性问题的区别

是数学概念，是指当x在某一区间或者集合U内任意取值时，关于x的代数式f(x)总是满足大于等于或者小于0,我们把这种“总是满足”叫做恒成立。

恒成立和存在性问题的口诀

符号看象限：即：首先把a看做锐角,根据k值,看kπ/2±a在第几象限例如：sin(3π/2+α)=-cosα （奇变，3π/2+α在第三象限为负）扩展资料奇变偶不变，符号看象限”这句话是三角函数里，方便记忆诱导公式的一句口诀。而诱导公式是指三角函数中将角度比较大的三角函数利用角的周期性，转换为角度比较小的三角函数的公式。三角函数诱导公式如下：sin（π/2+α）=cosα. cos（π/2+α）=—sinα.tan（π/2+α）=－cotα. cot（π/2+α）=－tanα.sec（π/2+α）=－cscα. csc（π/2+α）=secα.

存在恒成立问题7种类型

函数内容作为高中数学知识体系的核心,也是历年高考的一个热点.在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题,其形式逐渐多样化,但它们大都与函数、导数知识密不可分.

解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等.

恒成立和存在

恒成立的条件就是：

①分母不能为0,否则无意义.

②分数中的分子或分母经过约分后不能出现无理数（如2的平方根）,否则就不是分数.

③一个最简分数的分母中只有2和5两个质因数就能化成有限小数；如果最简分数的分母中只含有2和5以外的质因数那么就能化成纯循环小数；如果最简分数的分母中既含有2或5两个质因数也含有2和5以外的质因数那么就能化成混循环小数.（注：如果不是一个最简分数就要先化成最简分数再判断；分母是2或5的最简分数一定能化成有限小数,分母是其他质数的最简分数一定能化成纯循环小数）

还有一点,就是你现在是中学阶段的哪一个阶段（小学,初中还是高中?）

小学的话,那么就只记住”分母不为0这一条足够了”

初中的话就是①②就足够了,高中的话要三条都能够.

祝你学习芝麻开花——节节高!

恒成立和存在性专题

解题技巧如下：

当要求含参数的函数的导数时，需要以参数为变量，将函数表示为一个无穷小量的形式，然后再对无穷小量求导。

这里以一个简单的例子进行说明：设 y = f(x;a) = x^2 + a，其中 a 是一个常数。要求函数 f(x;a) 在 x = 3 处的导数。那么，我们可以以 a 为参数，将 f(x;a) 表示为关于 a 的一个函数，即：

f(x;a) = x^2 + a = g(a) + x^2，其中 g(a) = a 是不包含 x 的部分，则 f(x;a) 可以看做是由常数部分 g(a) 和只与 x 相关的部分 x^2 组成。

然后对 f(x;a) 求关于 x 的导数：

f'(x;a) = 2x

由于求导时 a 视作常数，所以 a 不会影响求导的结果。得到导数后，再将 x 赋值为 3，即可得到函数 f(x;a) 在 x = 3 处的导数为 6。

这里需要注意的是，参数不一定是常数，也可以是其他变量。当存在多个参数时，同样可以采用以上方法，将其它参数视作常数，以一个参数为变量求导，最终得到关于这个参数的导数表达式。

恒成立与存在性问题例题

是存在性，至少有一个，再多不限制。

恒成立和存在性问题归纳总结

一、构建函数

　　构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题。

　　1、构建一次函数

　　众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。

　　例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求实数k的取值范围。

　　解：构建函数f（x）= kx+3k+1，则原问题转化为f（x）在x∈（-2，2）内恒为正。若k=0，则f（x）=1＞0恒成立；若k≠0，则f（x）为一次函数，问题等价于f（-2）＞0，f（2）＞0，

　　解之得k∈（- ，+∞）。

　　例2：对m≤2的一切实数m，求使不等式2x-1＞m（x -1）都成立的'x的取值范围。

　　解：原问题等价于不等式：（x -1）m-（2x-1）＜0，设f（m）=（x -1）m-（2x-1），则原问题转化为求一次函数f（m）或常数函数在［-2，2］内恒为负值时x的取值范围。

　　（1）当x -1=0时，x=±1。

　　当x=1时，f（m）＜0恒成立；当x=-1时，f（m）＜0不成立。

　　（2） 当x -1≠0时，由一次函数的单调性知：f（m）＜0等价于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜ ；综上，所求的x∈（ ）。

　　2、构建二次函数

　　二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题，使原本复杂的问题变得容易解决。

　　例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求实数a的取值范围。

　　解：构造函数g（x）= ax +2x+1，则原问题等价于：当x≥0时，g（x）恒大于0。

　　若a=0且x≥0，则g（x）= 2x+1＞0恒成立；

　　若a≠0，则g（x）为二次函数，当a＜0时，显然当x≥0时不能使g（x）恒大于0，仅当a＞0时，要使当x≥0时，g（x）恒大于0，只需Δ＜0或△≥0- ≤0g（0）＞0，解之得：a＞0

　　∴a的取值范围为［0，+∞）。

　　3、构建形如f（x）=ax+ 的函数

　　通过换元、变形，将原问题转化为形如f（x）=ax+ 的函数的最值问题，再合理利用该函数的单调性等性质来解题，常要用到如下结论：

　　（1）f（x）=ax+ 为奇函数，（2）当a＞0，b＞0时，f（x）在0， 上递减，在 ，+∞上递增。

　　例4：若不等式x -5x-6＜a（x-4）对于x∈［-1，1］恒成立，求a的取值范围。

　　解：由x∈［-1，1］知：x-4＜0，则原问题等价于：当x∈［-1，1］时， ＞a恒成立，即（x-4）- +3＞a，令t=x-4，则原问题又等价于：当t∈［-5，-3］时，t- +3＞a恒成立，构建函数f（t）= t- ，在t∈［-5，-3］上单调递增，∴0≤3+f（t） ≤ ，要使3+ （t- ）＞a恒成立，只要a＜0即可。

　　二、分离参数

　　运用不等式的相关知识不难推出如下结论：

　　若对于x的取值范围内的任何一个数，都有f（x）＞g（a）恒成立，则f （x）＞g（a），若对于x的取值范围内的任何一个数，都有f（x）＜g（a）恒成立，则f （x）＜g（a）。

　　例5：若不等式|x-3|-|x+1|＜a在（-∞，+∞）内恒成立，求a的取值范围。

　　解：构造函数f（x）=|x-3|-|x+1|，则a必须大于f（x）的最大值，由f（x）=-4，x≥32-2x，-1＜x＜34，x≤-1知，f （x）=4，故a的取值范围为（4，+∞）。

　　三、特殊赋值

　　取特殊值的方法，对做选择题很有效，在恒成立问题上也不失为一个好方法。

　　例7：已知实数a，b变化时，直线l ：（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0恒过定点

　　解：∵直线l 恒过定点，

　　故令a=1，b=1，得3x+2y=0

　　a=0，b=1，得x+y-1=0

　　∴3x+2y=0x+y-1=0

　　解之得：x=-2y=3，将（-2，3）代入l ，经检验，点恒满足方程（2a+b）x+（a+b）y+（a-b）=0。

恒成立和存在性问题题目

恒成立问题的本质是确定某一条件下始终成立的规律或定理。因为恒成立问题是一类基础且重要的数学问题，掌握恒成立问题能够帮助我们进一步探索和发现数学规律以及解决实际问题，如数学证明、算法设计等。恒成立问题涉及到各个数学领域，包括代数、几何、概率等，如勾股定理、牛顿-莱布尼茨公式等，这些定理的成立都对数学的发展和应用做出了巨大的贡献。同时，恒成立问题也是数学研究的一个重要方向，对于寻找全面、深入的数学规律有着重要的意义。

有关恒成立或存在性问题的七种解法

不等式的恒成立是指该不等式在任何情况下都是成立的。也就是说，无论变量取哪些值，不等式都会满足条件。当一个不等式恒成立时，我们可以利用它进行推导和证明，因为它是一种绝对的真理。

例如，当我们要证明一个数学定理时，如果能够推导出一个恒成立的不等式，那么就可以利用该不等式来证明该数学定理的正确性。

在实际应用中，不等式的恒成立通常涉及到一些基本的数学关系和规律，如三角不等式、柯西-施瓦茨不等式等。因此，了解不等式的恒成立对于深入理解数学知识和解决实际问题都具有重要的意义。